PROBABILITAS

PROBABILITAS

·         Probabilitas : peluang suatu kejadian

·         Manfaat : membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi tidak sempurna.

Contoh :

a.       Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham.

b.      Peluang produk yang diluncurkan perusahaan (berhasil/tidak).

·         Probabilitas : ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa/event yang terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan 0-1 dalam presentase.

·         Percobaan : pengamatan terhadap beberapa aktivitas yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa lain.

·         Hasil (outcome) : hasil dari percobaan.

·         Peristiwa (event) : kumpulan dari percobaan.

Contoh :

Percobaan/kegiatan	Pertandingan sepak bola Mancester United vs Arsenal
Hasil	Arsenal menang, Manchester United kalah
Peristiwa	Arsenal menang

PENDEKATAN KLASIK

·         Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.

Percobaan	Hasil		Probabilitas
Kegiatan melempar uang	1.       Muncul gambar 2.       Muncul angka	2	1/2
Kegiatan perdagangan saham	1.       Menjual 2.       Membeli	2	1/2
Perubahan harga	1.       Inflasi 2.       Deflasi	2	1/2
Mahasiswa belajar	1.       Lulus memuaskan 2.       Lulus sangat memuaskan 3.       Lulus terpuji	3	1/3

PENDEKATAN RELATIF

·         Suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung berapa banyak suatu kejadian terjadi.

Contoh : Hasil produksi barang diambil 500 unit, terdapat 22 unit yang rusak/frekuensi relatifnya 22:500=0,04. Kemudian diambil 2000 unit lain, 82 unit rusak/frekuensi relatifnya 82:2000=0,04. Jika proses tersebut dilakukan berulang-ulang untuk jumlah yang mendekati tak terhingga kali, maka akan dicapai limit tertentu yaitu 4%. Artinya, dalam proses produksi akan terdapat 4 unit rusak dari 100 unit yang diperiksa.

ATURAN PROBABILITAS

1.       Nilai antara 0-1 dari hasil pengamatan/proses.

2.       Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A, maka P(A)’=1-P(A).

READ MORE - PROBABILITAS

KOMBINASI

·         Merupakan cara pemilihan objek dengan tidak memperhatikan objek tersebut

Rumus :

n = banyaknya seluruh objek yang ada

x = banyaknya objek yang dikombinasikan

x<n ; jika x = n formulasinya menjadi nCn = 1

Sifat-sifat kombinasi :

·         Cⁿ_o = 1

·         Cⁿ₁ = n

_·          Cⁿ_n-1  = n

_·          Cⁿ_n = 1

Contoh :

1.       Dari 4 orang yaitu A, B, C, dan D pendiri suatu partai, akan dipilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa macam urutan pengurus partai tersebut yanng mungkin terpilih?

Jawab :

n = 4, x = 3

2.       Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna yaitu merah, kuning, biru, dan hijau. Maka, berapa kombinasi 3 jenis warna yang dihasilkan?

Jawab :

n = 4, x = 3

3.       Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal, maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi?

Jawab :

n = 10, x = 2

Kombinasi dari kombinasi

·         Merupakan perkalian antara banyaknya kombinasi suatu kumpulan objek dengan banyaknya kombinasi dari kumpulan objek lainnya

·         Jika dari himpunan unsur I yanng terdiri dari n unsur dan himpunan unsur II yang terdiri dari m unsur, dibentuk suatu kombinasi yang terdiri dari x unsur I dan y unsur II. Maka, kombinasi yang dapat disusun adalah

Contoh :

4.       Suatu perkumpulan terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita. Perkumpulan itu akan memilih 3 orang sebagai pengurusnya. Berapa cara yanng dapat dibentuk dalam pemilihan tersebut, jika :

a.       Semua dapat dipilih?

b.      Pengurus harus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita?

Jawab :

a.       n = 5, x = 3

b.      n₁ = 3, x₁ = 2

5.       Dari 20 orang mahasiswa dan 10 orang mahasisiwi akan dibentuk suatu kelompok belajar yang terdiri dari 4 orang mahasiswa dan 2 orang mahasiswi. Hitung banyaknya kombinasi yang didapat dari pembentukan kelompok belajar tersebut?

Jawab :

n₁ = 20; x₁ = 4

n₂ = 10; x₂ = 2

READ MORE - KOMBINASI

PERMUTASI

Permutasi :

· Analisis yang mempunyai peranan penting dalam matematika modern, khususnya dalam menentukan banyaknya alternatif  yang mungkin terjadi di dalam pengambilan keputusan

· Penyusunan objek-objek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu

Sifat permutasi : objek-objek yang ada harus dapat dibedakan antara satu dengan yang lainnya.

Faktorial :

· Diberi notasi tanda seru (!)

·  Harga dari suatu bilangan yang difaktorialkan diformulasikan sebagai berikut :

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)....(n)(n-1)

contoh :

a.       3! = 3 x 2 x 1 = 6

b.      5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Rumus :

n = banyaknya seluruh objek

x = banyaknya objek yang dipermutasikan

Syarat :

·         Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol

·         Jika x<n, disebut permutasi untuk sebagian objek

·         Jika x=n, maka dinamakan permutasi untuk seluruh objek,

rumusnya menjadi :

Contoh :

1. Ada 3 orang mahasiswa yang bernama A, B, dan C yang akan duduk di sebuah bangku panjang. Ada berapa cara/urutan yang terjadi jika mereka duduk berjajar?

Jawab :

                n! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Jika kita akan menempatkan 6 buah buku yang berbeda dalam sebuah rak buku, maka ada berapa carakah ke 6 buku tersebut dapat disusun?

Jawab :

                n! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

3. Sebuah kelompok belajar yang beranggotakan 4 orang mahasiswa yaitu A, B, C, dan D akan mengadakan pemilihan terhadap 2 orang anggotanya sebagai pengurus dengan ketua dan wakil ketua. Ada berapa carakah/alternatif dari susunan pengurus yang mungkin dapat dipilih?

Jawab :

             

4. Ada suatu perlombaan yang diikuti oleh 15 orang. Panitia lomba menyediakan 3 hadiah masing-masing untuk juara 1, 2, dan 3. Berapakah banyaknya susunan urutan juara yang mungkin terjadi?

Jawab :

      

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n, objek q­­₁ ­_­, sejumlah n_­2 objek q_­2­, .... n_­k­ objek q_­k­, dengan n_­1­+n_­2­+ .... +n_­k­ = n adalah :

Permutasi Keliling/lingkaran

·  Permutasi dari sejumlah objek yang membentuk lingkaran

·  Salah satu jenis permutasi yang sifatnya khusus

·  Jika tidak mempunyai sejumlah objek yang berbeda, maka objek-objek tersebut dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran sebanyak :

(n-1)! Cara

Contoh :

1. Suatu keluarga yang terdiri dari 4 orang yaitu A, B, C, dan D akan makan bersama pada sebuah meja makan yang bundar. Berapakah banyaknya urutan 4 orang tersebut dapat diatur mengelilingi meja bundar tersebut?

Jawab :

                P = (4-1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Enam orang anak akan bermain membuat lingkaran dengan cara masing-masing saling bergandeng tangan. Ada berapa carakah susunan yang mungkin terjadi?

Jawab :

                P = (6-1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Latihan

1. Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara?

Jawab :

                P = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

2. Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada 6 calon!

Jawab :

3. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MAHASISWA”?

Jawab :

  M = 1; A = 3; H = 1; S = 2; I = 1, W = 1 (jumlah huruf ada 9, berarti n=9)

4. Petugas perpustakaan akan menyusun 3 buku matematika yang sama, 2 buku fisika yang sama, 3 buku biologi yang sama, dan 4 buku kimia yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Jawab :

(jumlah buku adalah 12, jadi n=12)

READ MORE - PERMUTASI