PERMUTASI

Permutasi :

· Analisis yang mempunyai peranan penting dalam matematika modern, khususnya dalam menentukan banyaknya alternatif  yang mungkin terjadi di dalam pengambilan keputusan

· Penyusunan objek-objek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu

Sifat permutasi : objek-objek yang ada harus dapat dibedakan antara satu dengan yang lainnya.

Faktorial :

· Diberi notasi tanda seru (!)

·  Harga dari suatu bilangan yang difaktorialkan diformulasikan sebagai berikut :

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)....(n)(n-1)

contoh :

a.       3! = 3 x 2 x 1 = 6

b.      5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Rumus :

n = banyaknya seluruh objek

x = banyaknya objek yang dipermutasikan

Syarat :

·         Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol

·         Jika x<n, disebut permutasi untuk sebagian objek

·         Jika x=n, maka dinamakan permutasi untuk seluruh objek,

rumusnya menjadi :

Contoh :

1. Ada 3 orang mahasiswa yang bernama A, B, dan C yang akan duduk di sebuah bangku panjang. Ada berapa cara/urutan yang terjadi jika mereka duduk berjajar?

Jawab :

                n! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Jika kita akan menempatkan 6 buah buku yang berbeda dalam sebuah rak buku, maka ada berapa carakah ke 6 buku tersebut dapat disusun?

Jawab :

                n! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

3. Sebuah kelompok belajar yang beranggotakan 4 orang mahasiswa yaitu A, B, C, dan D akan mengadakan pemilihan terhadap 2 orang anggotanya sebagai pengurus dengan ketua dan wakil ketua. Ada berapa carakah/alternatif dari susunan pengurus yang mungkin dapat dipilih?

Jawab :

             

4. Ada suatu perlombaan yang diikuti oleh 15 orang. Panitia lomba menyediakan 3 hadiah masing-masing untuk juara 1, 2, dan 3. Berapakah banyaknya susunan urutan juara yang mungkin terjadi?

Jawab :

      

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n, objek q­­₁ ­_­, sejumlah n_­2 objek q_­2­, .... n_­k­ objek q_­k­, dengan n_­1­+n_­2­+ .... +n_­k­ = n adalah :

Permutasi Keliling/lingkaran

·  Permutasi dari sejumlah objek yang membentuk lingkaran

·  Salah satu jenis permutasi yang sifatnya khusus

·  Jika tidak mempunyai sejumlah objek yang berbeda, maka objek-objek tersebut dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran sebanyak :

(n-1)! Cara

Contoh :

1. Suatu keluarga yang terdiri dari 4 orang yaitu A, B, C, dan D akan makan bersama pada sebuah meja makan yang bundar. Berapakah banyaknya urutan 4 orang tersebut dapat diatur mengelilingi meja bundar tersebut?

Jawab :

                P = (4-1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Enam orang anak akan bermain membuat lingkaran dengan cara masing-masing saling bergandeng tangan. Ada berapa carakah susunan yang mungkin terjadi?

Jawab :

                P = (6-1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Latihan

1. Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara?

Jawab :

                P = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara

2. Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada 6 calon!

Jawab :

3. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MAHASISWA”?

Jawab :

  M = 1; A = 3; H = 1; S = 2; I = 1, W = 1 (jumlah huruf ada 9, berarti n=9)

4. Petugas perpustakaan akan menyusun 3 buku matematika yang sama, 2 buku fisika yang sama, 3 buku biologi yang sama, dan 4 buku kimia yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Jawab :

(jumlah buku adalah 12, jadi n=12)